José Barinaga Mata cursó sus estudios primarios y secundarios en Salamanca, obteniendo el bachillerato en 1906 con discretísimas calificaciones. Aunque parece ser que su padre se había trasladado a Madrid en 1906, no se conoce rastro de la actividad de Barinaga hasta ser citado, entre 1911 y 1915, como alumno de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Madrid en las páginas de la Revista de la Sociedad Matemática Española, donde muestra sus prometedoras aptitudes matemáticas en la constante resolución de cuestiones y problemas no elementales sin que ello determine el encauzamiento académico de su actividad matemática. Aunque se desconocen sus motivos y circunstancias, se atribuye a la creciente dedicación a la enseñanza privada del joven Barinaga el hecho de que la obtención de su licenciatura matemática —ahora ya con excelente expediente— se dilatara hasta 1926 —se dice que por el personal empeño de Luis Octavio de Toledo—. Seguidamente cursó el doctorado y en 1929 defiende su tesis —sobre ecuaciones en derivadas parciales— y gana el primer premio extraordinario de doctorado. En 1927 es nombrado, tras los correspondientes ejercicios, auxiliar de Análisis Matemático 2.º en la Facultad de Ciencias de la Universidad Central, en 1930 ganó la cátedra de Análisis Matemático 1.º y 2.º cursos de la Universidad de Barcelona y en 1931 obtuvo la cátedra de Análisis Matemático 1.º de la Universidad Central de Madrid. [...]