Nació en La Habana, Cuba, entre los años de 1746 y 1748. Fue hijo de José Melchor de Acosta y Teresa Hurtado de Mendoza. Comenzó su carrera militar siendo muy joven, casi un infante, para lo que requirió dispensa de Su Majestad.

Siendo un cadete de catorce o dieciséis años de edad, le tocó participar activamente en el sitio y rendición de La Habana, a causa de la invasión inglesa. En 1761, el rey Carlos III envió a La Habana una escuadra militar de refuerzos, al mando de Gutiérre de Hevia, pues ya había advertido al capitán general Juan de Prado Malleza y Portocarrero, el peligro que corría La Habana y la isla de Cuba, por su ubicación estratégica para el comercio. Los ingleses, en efecto, atacaron por sorpresa, lograron la victoria y tomaron La Habana el 12 de agosto de 1762. Casi un año después, los invasores devolvieron Cuba a la Corona española a cambio de la entrega, por parte de España, de la Florida, la Bahía de Pensacola y las posesiones españolas en el Mississippi. [...]