Fueron sus padres Bernardo de Iriarte, natural de La Orotava (2 de septiembre de 1705), teniente de Milicias y administrador de Tercias Reales; y Bárbara de las Nieves Rabelo, nacida en la misma localidad Canaria (5 de mayo de 1713). Ambos se casaron allí el 28 de diciembre de 1732. Uno de los hermanos de Domingo fue el famoso fabulista Tomás.

Llegó a Madrid el 31 de mayo de 1757 para completar su educación. En 1753 comenzó su carrera administrativa como paje de bolsa del marqués de Grimaldi, secretario del Despacho de Estado. Tras varios años de servicio, el 8 de agosto de 1766 Carlos III resolvió que quedara vacante la última plaza de oficial del citado departamento, reservándola para Iriarte cuando tuviera más edad. Por fin, el 20 de octubre de 1767 fue nombrado oficial 9.º de la Secretaría del Despacho de Estado. Ascendió a oficial 8.º (20 de octubre de 1767), 7.º (25 de junio de 1773), 6.º (21 de noviembre de 1773) y 5.º (3 de octubre de 1776). El 10 de febrero de 1777 fue enviado como secretario a la Embajada de España en Austria. Dejó Madrid y llegó a Viena el 12 de febrero de 1778. Nada más presentar sus credenciales, se hizo cargo de los negocios de aquella Corte hasta la llegada del embajador, el conde de Aguilar (25 de enero de 1779), y, posteriormente, desde la salida de Aguilar, hasta la llegada de su sustituto el marqués del Llano (3 de octubre de 1784-31 de octubre de 1785). El 15 de junio de 1786 se le confirió la secretaría de la Embajada de París pero, antes de pasar a su nuevo destino, obtuvo licencia para viajar por algunas cortes europeas. Así, visitó Dresde, Berlín, Hamburgo, Hannover, Goetingen, Casel, Vetzlar, Frankfurt, Maguncia, Palatinado y Dos-Puentes, Coblence, Bona, Bruselas, Holanda e Inglaterra. [...]