Era predicador real cuando, sobre consulta del Consejo de Indias del 31 de agosto de 1703, fue elegido arzobispo de Manila y el 12 de diciembre de ese año comunicó su aceptación al marqués del Carpio. Una vez presentado, sus bulas se le despacharon en Roma el 26 de abril del año siguiente y sus ejecutoriales en Madrid el 2 de marzo de 1705, dándosele licencia para pasar a Manila el 1 de marzo de 1706 en compañía de su provisor, cuatro capellanes y diez criados y fue consagrado en México el 12 de agosto de 1707 por el arzobispo Juan Ortega Montañés.

Los principios de su arzobispado estuvieron marcados por los momentos finales de la larga contienda movida por las cinco órdenes religiosas de Filipinas sobre no estar sujetas a la jurisdicción del arzobispo en lo tocante a las visitas de las doctrinas, la que se había zanjado por Breve de Clemente XI, dado en Roma el 30 de enero de 1705, el cual establecía que los regulares estaban sujetos a la visita del arzobispo de Manila y de los demás obispos de Filipinas y fulminaba pena de censuras y pérdida de bienes a los que dejasen sus parroquias. Una vez conocido este Breve en Filipinas, fue suplicado por los prelados de las cinco órdenes y el arzobispo Cuesta admitió la súplica, pero sin suspender la ejecución. Durante su arzobispado se preocupó de la puesta en planta del seminario de la ciudad de Manila y se aprobó la construcción de la casa de Santa Catalina de Siena de terceras dominicas en Manila (1716), para que en ella se recogieran indias y tomaran estado. [...]