Hijo mayor del creador de la firma Antonio Puig, estudió en la Escola Blanquerna, en los jesuitas de Casp y en la Escola Superior d’Enginyers Industrials de su ciudad natal, donde obtuvo el título de doctor ingeniero industrial.

Se formó como perfumista junto a su padre, en Barcelona, y en Grasse, capital de la industria internacional de las esencias naturales. Más tarde se convirtió en uno de los primeros alumnos del programa PADE del Instituto de Estudios Superiores de la Empresa

(IESE).

Incorporado plenamente a la empresa familiar en la década de 1950, Puig Planas desempeñó un importante papel en la modernización e internacionalización del grupo Puig junto a sus tres hermanos, Mariano (1927-2021), Josep Maria (1931) y Enric (1939-2008). Dentro del modelo de dirección colegiada que adoptó la segunda generación Puig, Antoni se hizo cargo del área creativa y financiera. Una de sus contribuciones más decisivas fue la creación de una identidad propia, moderna y mediterránea, asociada al diseño industrial y adaptada a la evolución de la sociedad española. El diseñador catalán André Ricard, artífice de marcas como Agua Brava (1968), Azur de Puig (1969) y Quorum (1981), fue uno de los colaboradores más influyentes del grupo. Puig promovió al mismo tiempo la vinculación del perfume a la moda, asociándose primero con Pertegaz y Paco Rabanne (1968) y más tarde con Carolina Herrera (1988) y Victorio & Lucchino (1992), entre otros. [...]