Hijo de Antonio de Gamboa y de María de la Puente y Aramburu.

Gamboa estudió en el colegio de San Juan Bautista de Guadalajara y luego en San Ildefonso de México un total de catorce años, obteniendo la reputación de ser “el mejor estudiante de su época”. Recibió el grado de bachiller en Artes por la Universidad de México en 1734. Cuatro años después se graduó como bachiller en Cánones y luego sustituyó en la cátedra de Vísperas en la facultad. En 1740 compitió dos veces por una cátedra de Cánones. Se convirtió en abogado ante la Audiencia de México en 1740. Gamboa comenzó su pasantía con el famoso abogado José Méndez, que murió repentinamente, de modo que el joven abogado asumió los casos de su maestro y los llevó con tanta brillantez que fue recibido en la Corte con aplausos. [...]