Hijo de menestrales, disfrutó de una infancia y adolescencia sin apuros económicos, dentro de un hogar bien avenido. Cursó estudios hasta el aprendizaje del oficio de cajista de imprenta. Su padre fue, primero, demócrata y, más tarde, republicano federal, lo que en algún momento le llevó a las barricadas. El joven Quejido conoció en 1876 al entonces Paulino Iglesias y se afilió a la Asociación General del Arte de Imprimir.

El 2 de mayo de 1879 participó en la constitución y escribió el acta de nacimiento del Partido Socialista Obrero Español (PSOE). Organizó la primera huelga del ramo de tipógrafos en Madrid, y dos años después, en 1884, informó ante la Comisión de Reformas Sociales en nombre del “Arte de Imprimir”. Lo hizo con la presunción de que aquel embrión del futuro Instituto de Reformas Sociales y posterior Ministerio de Trabajo “no serviría para nada”. Su carrera de líder sindical dio un salto del ámbito madrileño al nacional, cuando, ese mismo año, el Segundo Congreso Nacional de Tipógrafos, reunido en Valencia, lo nombró secretario del Comité Central de la Federación Nacional Tipográfica, del que era presidente Iglesias. [...]