Fue el primogénito de la saga ciclista de los Rodríguez, cuyos hermanos menores varones —Emilio, Manolo, Pepe y Pastor— también fueron ciclistas, dándose la curiosidad de que en la familia también hubo una fémina ciclista, de nombre Eurita, ganadora de una carrera en Pontevedra en 1943. Es a partir de 1934 cuando Delio Rodríguez comenzó a hacerse notar en el pelotón nacional, no en vano aquel año fue tercero en la reñida Vuelta al Valle de Léniz. Al año siguiente, enrolado en el equipo Galicia, tomó la salida en la Vuelta al País Vasco, carrera internacional en la que pudo codearse con grandes figuras de la talla de Mariano Cañardo, Gino Bartali, Alfredo Bovet, Salvador Cardona, Federico Ezquerra, Julián Berrendero y otros, terminando la prueba en trigésimo segunda y última posición. Corrió por vez primera la Vuelta a España en 1936, carrera que en la que, años más adelante habría de conseguir sus mayores éxitos, si bien entonces hubo de conformarse con ser el vigésimocuarto de los veintiséis ciclistas que la terminaron. Acabada la Vuelta, su carrera deportiva sufrió un brusco parón, pues marchó a cumplir el servicio militar, viéndose sorprendido por el inicio de la Guerra Civil. Finalizado el conflicto, Delio volvió a competir en 1939, año en el que, con la Unión Deportiva Sans, fue tercero en la Madrid-Lisboa y la Vuelta a los Puertos, cuarto en la Vuelta a Aragón, sexto en la Vuelta a Cataluña y séptimo en el muy duro Circuito del Norte. [...]